习题 28, § 5

令$G, G'$为两个拓扑群。证明在以下两种情况下，$G$到$G'$的每个连续同态$f$都是严格的态射：

a) $G$是局部紧的，$\sigma$是紧的，$G'$是非贫的[表明$G$中有一个相对紧的开集合$U$，使得$f(\overline{U})$的内部不为空；推断对于$G$的单位元素的每个紧凑邻域$V$，$f(V)$的内部不为空，然后应用章III, § 2，习题18]。

b) $G$是完整的，$G$中的拓扑有可数的基，并且$G'$是非贫乏的。 [通过使用$G$单位元素$e$每个邻域$U$，$G$是形式$x_n U$集合序列并，表明对于$G$中的每个开集合$A$，$G'$中都有一个开集合$A'$，其中包含$f(A)$，并且使得$f(A)$在$A'$中稠密。然后考虑$G$中$e$的对称邻域的基本系统$(U_n)$，使得$\overline{U}_{n+1}^2 \subset U_n$，并证明$f(U_p)$包含开集合$U'_{p+1}$；为此，取任意点$a' \in U'_{p+1}$，然后取构造乘归纳序列$(b_n)$/点/$G$，使得$b_n \in U_{p+n}$和$f(b_1 b_2 \ldots b_n)$趋于$a'$； 注，如果$x' \in U'_k$，则存在$y \in U_k$使得$f(y) \in x'U_{k+1}'$。] 假设，$G$有一个可数的基是必要的，如例所示，其中$G'$是群 $\mathbf{R}$ 与拓扑为实直线，$G$ 为群 $\mathbf{R}$ 与离散拓扑，$f : G \to G'$ 为恒等映射。