习题 3, § 5

令$A$为拓扑空间$X$的子集，并让$D(A)$表示所有$x \in X$的集合，这样，对于$x$的每个邻域$V$，集合 $V \cap A$也不算少。 $D(A)$包含在$\overline{A}$中。

$a$ 如果$B$是$X$的子集使得$D(B) = \varnothing$，那么

对于 $X$ 中的每子集 $A$。

$b$$D(A) = \varnothing$当且仅当$A$微不足道。 [首先证明，如果$(U_i)$是$X$的成对不相交的开子集的族，并且如果对于每个$i$，$V_i$是包含在$U_i$中的无处密集集合（相对于$X$），则$\bigcup V_i$无处密集。然后考虑$X$的开放子集的*极大*集合$\mathfrak{M}$，其中每个对是不相交的，这样$A \cup U$对于每个$U \in \mathfrak{M}$来说是微不足道的；这样一个最大集合的存在是由 Zorn 的引理确定的。证明如果$D(A) = \varnothing$，则$A \cap \mathbf{C}W$无处稠密，其中$W$是$\mathfrak{M}$的集合的并，因此证明$A$是稀疏的。]

$c$ 显示 $D(A)$ 是封闭的，并且 $A \cap \mathbf{C}D(A)$ 对于所有 $A \subset X$ 来说是微不足道的 [显示，在 $b$ 的帮助下]，$A \cap \mathbf{C}D(A)$ 相对于开子空间 $\mathbf{C}D(A)$ 来说是微不足道的]。

$d$ 证明$D(A)$等于其内部的闭包。 [如果$D'(A)$是$D(A)$内部的闭包，则表明$A \cap \mathbf{C}D'(A)$微薄，由注意到可知这个集合是并的