习题 30, § 5

令$G$为群，并令$d$为$G$的度量，使得对于由$d$在$G$、映射、$y \to x_0y$和$y \to yx_0$定义的拓扑$\mathscr{T}$，对于每个 $x_0 \in G$，$G$ 到$G$ 都是连续的。

a) 证明如果$G$相对于拓扑$\mathscr{T}$是完备的，那么映射$(x, y) \to xy$在$G \times G$上是连续的（使用习题23）。

b) 假设在加法中$\mathscr{T}$有一个可数的基。证明映射$x \to x^{-1}$在$G$上连续，即拓扑$\mathscr{T}$与$G$的群结构兼容。 [在群$G \times G$中，赋予拓扑$\mathscr{T} \times \mathscr{T}$，考虑所有点$(x, x^{-1})$中的集合$F$，其中$x \in G$； $F$于$G \times G$休息，合成$(x, x^{-1})(y, y^{-1}) = (xy, y^{-1}x^{-1})$定义群结构律于$F$休息；表明由$G \times G$在$F$上诱导的拓扑与使用$a$的群结构兼容]。然后通过习题 28 b) 中的论证证明$F$ 的投影 $pr_1$ 到$G$ 是双连续的。]