习题 5, § 5

a) 令$X$和$Y$为两个拓扑空间，并令$A$为$X \times Y$的无处稠密子集。如果 $Y$ 的拓扑具有可数基，则表明所有 $x \in X$ 中的集合使得 $A$ 的截面 $A \cap \{x\} / Y$ 在 $x$ 处不是无处稠密，相对于 $\{x\} \times Y$ 来说是微薄的$X$中的集合（如果$U$是$Y$中的任何非空开集合，则表明所有$x \in X$中的集合使得$\{x\} \times U$包含在$A$的截面闭包中） $x$是$X$中无处密集的集合）。

b) 通过例证明，如果$Y$的拓扑没有可数基（将$X$视为豪斯多夫空间，没有孤立的点且将$Y$视为集合），则a）的结果可能为假$X$与离散拓扑；并取$A$作为$X \times Y$的对角线）。

c) 如果$B, C$分别是$X, Y$的子集，并且如果$B, C$之一微薄（分别在$X, Y$中），则$B \times C$在$X \times Y$中微薄。相反，如果 $B \times C$ 在 $X \times Y$ 中微薄，并且 $X$ 或 $Y$ 中的拓扑具有可数的基，则集合 $B, C$ 之一微薄。

d) 从c)推导出，如果空间 $X, Y$之一的拓扑具有可数基，则$D(B \times C) = D(B) \wedge D(C)$位于习题 3的记号中。