习题 1, § 6

a) 每个零维空间都是完全正则的。 § 4、习题 26 b) 和§ 5、习题 15 中定义的非正态局部紧空间是零维的。

b) 如果对于$X$的每个闭子集$A$和$A$的每个邻域$U$，都存在$A$的开邻域，则称拓扑空间$X$是*强零维* $U$。每个强零维空间都是正规的。正常的空间是强零维的当且仅当其 Stone-Čech 紧致化 ($§ 1$, 习题 7) 完全断开[使用 § 4 的习题 17 c)]。

c) 令$X$为强零维豪斯多夫空间，并令$(U_n)$为$X$中非空开集合的递增序列。证明不相交的集合之间存在序列$(G_n)$，它们在$X$中既开又闭，这样每个$n$都有$G_n \subset U_n$，$\bigcup_n G_n = \bigcup_n U_n$（定义$G_n$乘归纳）。此外，如果$X$是完全正规的（$§ 4$，习题8），则$X$中的每个开集合都是并相互不相交的集合的可数族，它们在$X$中既开又闭。

d) 令 $X$ 为正规空间，即强零维子空间的序列 $(A_n)$ 的并。证明 $X$ 是强零维的。 [令$B, C$是$X$的两个不相交的闭子集； 定义乘归纳两个递增序列$(G_n), (H_n)$开集合在$X$使得$\overline{G}_n \cap \overline{H}_n \neq \varnothing,\ A_n \subset G_n \cup H_n,\ B \cap A_n \subset G_n,\ C \cap A_n \subset H_n.$]