习题 10, § 6

a) 令X为可度量的空间，并令S为X的苏斯林子空间。证明 S 在 X (§ 5, 习题 6) 几乎开。 [设 P 是波兰空间，g 是 P 到 S 上的连续映射，$(C_n, p_n, \varphi_n)$ P 的筛选，f 相应的 L(C) 的连续映射到 P 上（在 no. 5 的记号中）；让$h = g \circ f$，对于每个$c \in C_n$让$q_n(c)$表示L（C）由……组成的子空间或序列$(c_k)$，使得$c_n = c$。对于每个$c \in C_n$，令$F_n(c) = h(q_n(c))$并让$U_n(c) = g(\varphi_n(c)) \supset F_n(c)$；让$W_n(c)$表示$D(U_n(c))$（§ 5，习题3）的并和X中的微薄的集合，这样$F_n(c) \subset W_n(c) \subset \overline{U_n(c)}$，这样$W_n(c)$在X中几乎是开的。表明

通过注意到$F_n(c) = \bigcup_{p_n(c') = c} F_{n+1}(c')$，X微薄；还表明集合$W_n(c) - F_n(c)$包含在集合$V_m(d)$的并中，其中$m \geq n$，并且对于每个$m, d$都经过$C_m$的元素的集合，使得$p_{nm}(d) = c$。因此表明 $F_n(c)$ 几乎是开的。]

b) 将 $[0, 1]$ 的连续映射 $f$ 的例赋予其自身，以及几乎开的集合 $B \subset I$，使得 $f(B)$ 不是几乎开的。 [使用章 IV, § 8的习题 16 b)，并证明我们可以将$B$视为康托尔集合$K$的子集，使得$f(B) = Z$具有§ 5、习题中描述的性质 18d）。]