习题 15, § 6

令$\mu$为$\mathbf{R}$的勒贝格测度； 定义 $\mathbf{R}^2$ 满足条件 (AL) 上的习题 12 乘以设定 $f(A) = \mu^*(\mathrm{pr}_1A)$ (命题 15) 的容量$f$。

a) 令$A$为$\mathbf{R}^2$（习题14）的非容量有界子集，令$B_0$为圆$||x|| = r$，使得$A$包含在开盘$||x|| < r$中，并令$B_1$为圆半径为 $r' > r$ 的$||x|| = r'$。证明 $A \cup B_0$ 和 $A \cup B_1$ 是有能力的，尽管它们的交 $A$ 不是。

b) 对于每个$n$，令$C_n$为所有$x \in \mathbf{R}^2$中的集合，使得

证明集合 $A \cup C_n$ 中的每一个都是有能力的，尽管它们的交不是，并且我们有 $\inf_n f(C_n) \neq f\left( \bigcap_n C_n \right)$。 \*