习题 5, § 6

a) 令$J$为波兰语空间$\mathbf{N}^\mathbf{N}$（$\mathbf{N}$携带离散拓扑），并令$X$为可数型的可度量空间。证明对于每个可数序数 $\alpha$，$J \times X$ 都存在子集 $G_\alpha$，使得 (i) $G_\alpha \in \mathscr{G}_\alpha(J \times X)$ (习题 4) 和 (ii) 对于每个子集 $U \in \mathscr{G}_\alpha(X)$，都存在 $z \in J$ 使得 $G_\alpha(z) = U$。 [我们可以通过超限归纳进行如下操作：空间$J$和$J^\mathbf{N}$是同胚的，令$f$是$J$到$J^\mathbf{N}$的同态，并且对于每个整数$n$令$f_n = \mathrm{pr}_n \circ f$。如果$(A_n)$是$X$包含空集的可数基，则取$G_0$使得每个$z \in J$有$G_0(z) = \bigcup_n A_{f_n(z)}$。对于每个可数序数$\alpha$，如果$\alpha$是偶数，则取$G_{\alpha+1}$使得$G_{\alpha+1}(z) = \bigcap_n G_\alpha(f_n(z))$，如果$\alpha$是奇数则$G_{\alpha+1}(z) = \bigcup_n G_\alpha(f_n(z))$。最后，如果$\alpha$没有前身，并且$(\lambda_n)$是序数的递增序列使得$\alpha = \sup \lambda_n$，则取$G_\alpha$使得$G_\alpha(z) = \bigcup_n G_{\lambda_n}(f_n(z))$。利用 $f_n$ 在 $J$ 上连续的事实。]

b) 特别取$X = J$。证明集合$\mathrm{pr}_1(G_\alpha \cap \Delta)$，其中$\Delta$是$J \times J$的对角线，属于到$\mathscr{G}_\alpha(J)$但不到$\mathfrak{F}_\alpha(J)$[通过矛盾论证，使用a)]。