习题 4, § 3

令$G$为拓扑群，满足以下条件： (R_I) $G$ 已连接。 (R_{II}) $G$ 单位元素 $e$ 的补$G^*$ 不连通。

则存在$G$到$\mathbf{R}$的连续双射同态（在其他字中，$G$与$\mathbf{R}$代数同构，且其拓扑比$\mathbf{R}$的更细）。 证明分几个步骤：

a) 设$(U_i)_{1 \leq i \leq n}$为$G^*$的划分，在$G^*$($n \geq 2$)中开集合。证明每个 $U_i$ 在 $G$ 中开，$e$ 位于每个 $\overline{U}_i$ 中，$G$ 是 Hausdorff。推断$G$中的闭包$\overline{U}_i = U_i \cup \{e\}$是连通的（章I, § 11，习题4）。

b) 令$A$ 为$U_i$ 的连通分量。证明对于每个指标 $j \neq i$，我们都有 $A^{-1} \overline{U}_j = A^{-1}$（观察$A^{-1} \overline{U}_j$ 是连通的并且包含 $A^{-1}$，如果 $j \neq i$ 则还有 $A^{-1} \overline{U}_j \subset G^*$）。

c) 表明 $n$ 必须等于 2 [对于每个指标 $i = 1, 2, \ldots, n$ 取 $U_i$ 的分量 $A_i$；如果$j \neq i$，根据b)，我们有$A_i^{-1} A_j \subset A_i^{-1}$，$A_j^{-1} A_i \subset A_j^{-1} \subset U_j^{-1}$，从而$A_i^{-1} \subset U_j$]。推断出$G^*$恰好有两个分量$A$和$B$，即$B = A^{-1}$和$\overline{A} = C(A^{-1})$。

d) 关系 $y x^{-1} \in \overline{A}$ 是序关系，这使得 $G$ 变成线性有序的群（表明对于所有 $x \in G$ 都有 $\overline{A}^2 = \overline{A}$ 和 $x \overline{A} x^{-1} = \overline{A}$）。

e) 拓扑 $\mathscr{T}_0(G)$ 比$G$ 上给定的拓扑 $\mathscr{T}$ 更粗糙（观察$A$ 相对于 $\mathscr{T}$ 开）。

完成上述利用习题 2 和章 I, § 11, no. 2、命题 4 的证明。 章 VI, § 1, 习题 12 b).]

f) 证明如果在加法中我们假设 $G$ 是局部紧致的或局部连通的，那么 $G$ 与 $\mathbf{R}$ 同构的。