习题 6, § 3

令$G$为拓扑群，满足以下条件： (LR_I) $G$ 是豪斯多夫且局部连通。

(LR_{II}) $G$ 的单位元素$e$存在连通的邻域$U$，使得$U$中$e$的补集不连通。 证明，在这些条件下，$G$ 局部同构于 $\mathbf{R}$。 [首先证明，如果$V$是$U$中包含的$G$中$e$的任意连通的邻域，则$V \cap C\{e\}$不连通，$e$位于$V \cap C\{e\}$的每个分量的闭包中，并且$V \cap C\{e\}$恰好有两个分量，由推理如习题 4. 然后将连接的邻域$V$足够小，并在$V$上进行线性排序定义，使得$\mathscr{C}_0(V)$比在$V$上通过拓扑诱导的拓扑更粗糙$G$，这样§ 2的命题2适用于元素$\geq e$的集合$E$$V$。]