习题 6, § 1

A subset $L$ of $\mathbf{R}^n$ is a broken line if there exists a finite sequence $(x_i)_{0 \leq i \leq p}$ of points of $\mathbf{R}^n$ such that, if $S_i$ denotes the segment with end-points $x_{i-1}$ and $x_i$ ($1 \leq i \leq p$), $L$ is the union of the $S_i$, which are called the sides of $L$. (In general there is an infinite number of finite sequences of points of $\mathbf{R}^n$ which define the same broken line.) A broken line is also the image of a mapping $u$ of $[0, 1]$ into $\mathbf{R}^n$ such that there exists a strictly increasing sequence $(t_j)_{0 \leq j \leq q}$ in $[0, 1]$ with $t_0 = 0$ and $t_q = 1$, with the property that $u$ is an affine linear mapping

（这样的映射 $u$ 被称为“分段线性”）。给定 $\mathbf{R}^n$ 的非空子集 $A$，我们说 $A$ 的两个点 $a, b$ 可以通过 $A$中的断线连接，如果存在由序列 $(x_i)_{0 \leq i \leq p}$ 定义的断线 $L \subset A$，使得$x_0 = a$ 和 $x_p = b$。如果$A$中的任意两个点可以用$A$中的虚线连接起来，则$A$是连通的。相反，如果$A$是$\mathbf{R}^n$的*连通开子集*，则表明$A$的任意两个点可以通过$A$中的虚线连接（考虑关系“$x$和$y$可以通过以下方式连接）： $A$" $A$ 的点 $x, y$ 之间的虚线；表明这是等价关系，其中类已打开集合)；我们甚至可以假设这条折线始终是段的并，每条线都平行于坐标轴（同样的方法）。推出，如果$A$是$\mathbf{R}^n$中的非空开集合，则点$a \in A$的分量是$A$的所有点的集合，可以通过虚线连接到$a$ $A$。