习题 7, § 1

令$A$为$\mathbf{R}^n$($n > 1$)中的非空连通开集合，令$(V_p)_{p \in \mathbf{N}}$为$\mathbf{R}^n$中的可数线性簇族，其中每个族都是维数$\leq n - 2$。证明如果 $B$ 是 $V_p$ 的并，则 $A \cap \overline{B}$ 在 $A$ 中稠密且连通。 （证明$A \cap \overline{B}$在$A$上稠密，使用归纳法在$n$上稠密。然后证明如果$x, y$是$A$的两个不同的点，则每个$\varepsilon > 0$点$y' \in A$都存在： $\|y' - y\| \leq \varepsilon$，使得端点为$x$和$y'$的闭合线段仅在$x$处与$B$相交。最后使用习题6来表明$A \cap \overline{B}$是连通的。）