习题 9, § 2

设 E 是大于 1 个点的拓扑空间包含。证明存在$S_1$到$F = E \times S_1$的连续映射$f$使得$f(S_1) \neq F$并且不存在扩展到$B_2$的连续映射到$F$（使用习题8）。推出，如果$n > 1$、$S_n, \mathbf{R}^n$和$B_n$不同胚于形式$E \times S_1$的任何空间，其中E是任何拓扑空间（参见习题3）。特别是，如果 $n > 1$、$S_n$ 不同胚于 $S_1^n$，并且对于所有 $n$，$B_n$ 不同胚于 $S_1^n$。

同样证明 $\mathbf{R}^2$ 与 $\mathbf{R}^2$ 中点的补集不同胚，并且 $S_2$ 不与 $B_2$ 同胚（如果为假，$\mathbf{R}^2$ 将同胚于 $S_1$ 的乘积和区间 ]0， 1]）。