习题 14, § 1

设$\varphi : \mathbf{R} \to \mathbf{T}$为典范同态；令$\theta$为$\mathbf{T}$中无限阶的元素，并令$\theta_0$为（无理数）实数，使得$\varphi(\theta_0) = \theta$。对于每个整数$n > 0$，令$S_n$为$\mathbf{T}$的元素$k\theta$的集合，其中$1 \leq k \leq n$，对于$\mathbf{R}$的每个区间$I$令$N(I, n)$为集合$I \cap \overline{\varphi^{-1}(S_n)}$元素数。

a) 如果我们取$I = [0, \theta_0[$，证明$N(I, n) = [n\theta_0]$[注，$N(I, n)$则为整数$(x, y)$的对的数，使得$1 \leq y \leq n$和$x \leq y\theta_0 < x + \theta_0$]。

b) 更一般地，如果我们取 $I = [0, m\theta_0[, m$ 为整数，我们就有 $m.[(n - m)\theta_0] \leq N(I, n) \leq m.[n\theta_0]$（同样的方法）。

c) 推出，如果$I$是任意区间，则数$N(I, n)/n$趋向于极限等于$I$的长度，即$n \to + \infty$。 （先用b证明$I$为形式$[m\theta_0 + a, m'\theta_0 + a']$时的结果，其中$m, m', a$和$a'$为整数）；然后通过形式 $m\theta_0 + a$ 的数逼近 $I$ 的端点来传递到一般情况。）[“序列 $(k\theta) \mod 1$ 的等分”]。