习题 2, § 3

令$(x_m)_{m \in \mathbf{N}}$为$\mathbf{R}^n$的点的无限序列，使得$\lim_{m \to \infty} x_m = 0$。对于$\mathbf{N}$中的每个有限子集$H$，放入$s_H = \sum_{m \in H} x_m$。证明有两种可能性：要么

(i) $\lim_{\mathscr{F}} \|S_H\| = + \infty$，其中$\mathscr{F}$是$\mathbf{N}$的所有有限子集中的有向集合；否则：

(ii) 存在$\mathbf{N}$的置换$\sigma$，使得级数其通项为$x_{\sigma(m)}$收敛于$\mathbf{R}^n$； in this case 集合 $A$ of 和 $\sum_{m=0}^\infty x_{\sigma(m)}$ of these 级数, for all 置换 $\sigma$ with this 性质, is an affine linear variety in $\mathbf{R}^n$. [Show first, with the help of 习题 1 b), that every cluster 点 (with respect to $\mathscr{F}$) of 映射 $H \to S_H$ is 和 of a convergent 级数 $(x_{\sigma(m)})$ for a suitable 置换 $\sigma$。使用章 III, § 5、习题 3 证明集合 $A$（如果不为空）是 $\mathbf{R}^n$ 的闭子群的陪集。最后证明 $A$ 通过习题 1 c) 和章 II, § 4、习题 15 连接。]