习题 3, § 1

a) 设$K$为极大有序域，赋予拓扑$\mathscr{T}_0(K)$，与其域结构兼容（章IV, § 3，习题2）。让

是 $K[X]$ 中的多项式，其中 $K$ 中有一个简单的根 $\alpha$。证明，对于$K$中的每个元素$\varepsilon > 0$，$K$中都存在$\eta > 0$，使得每个多项式$g(X) = b_0 X^n + b_1 X^{n-1} + \cdots + b_n$（对于所有$i$都有$|a_i - b_i| \leq \eta$）恰好有一个简单的根$\beta$，使得$|\beta - \alpha| \leq \varepsilon$。 （在$X - \alpha$的幂中展开$f$和$g$。）将$a_i, \alpha$和$\varepsilon$的项中的$\eta$赋予上界。

b) 推出，如果$K$是极大有序域，则其相对于$\mathscr{T}_0(K)$的补全$\hat{K}$（即带有自然阶结构的域：章IV, § 4，习题2）是极大有序域。

c) 令$K_0$为有序域，并令$S = K_0((X))$为幂级数中正式幂级数的域，在$K_0$上的一个不确定中；线性地阶$S$，将$S$中的元素$\geq 0$取为$0$，并且正式的幂级数，其最低次数的项具有系数$> 0$。 证明赋予拓扑 $\mathscr{T}_0(S)$ 的 $S$ 是完备的，但 $S$ 不是极大有序域（证明 $S[Y]$ 的多项式 $Y^p - X$ 对于每个整数 $p > 1$ 都是不可约的）。

d) 在c)的例中，取$K_0 = \mathbf{R}$。 令$K$为$S$的最大有序代数扩张；表明 $K$ 在拓扑 $\mathscr{T}_0(K)$ 中不完整。 （将$S$嵌入到具有良序指数的正式幂级数的域$E$中，以与$S$相同的方式排序，并将$K$嵌入到$E$的最大有序扩张$\Omega$中。 观察$E$是完备的，并给出$K$中柯西序列的例，它收敛到元素$f \in E$，它在$S$上不是代数； 选择$f$，因此存在$S$的无限数-$E$同构到$\Omega$的代数闭包，使得这些同构下的$f$的像都是不同的。）