习题 12, § 1

令$X$为拓扑空间，令$A$为拓扑环（章III, § 6, no. 3）。 $X$连续映射到$A$的集合$\mathscr{C}(X; A)$是环$A^X$子环。令$\mathscr{S}$为$X$的子集中的集合。

a) 假设对于每个$M \in \mathscr{S}$和每个$u \in \mathscr{C}(X; A)$，集合$u(M)$是有界的（章III, § 6，习题12）。证明$\mathscr{S}$收敛的拓扑与$\mathscr{C}(X; A)$的环结构兼容。考虑点收敛的情况和紧凑收敛的情况。

b) 令 $X$ 为局部紧致 $\sigma$-紧致空间，它不是紧致的 (章 I, § 9, no. 9)。证明一致收敛的拓扑与$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$的环结构不兼容。