习题 11, § 3

设$X, Y$为两个非空拓扑空间，其乘积$X \times Y$为正规拓扑。令$\mathscr{T}$为集合$C(X; \mathbf{R})$上的拓扑，使得对于$X \times Y$上的每个连续实值函数$f$，$Y$到$C(X; \mathbf{R})$的映射$y \to f(., y)$是连续的。

a) 设$y_0$为序列的极限、$Y$的点$(z_n)$，全部不同于$y_0$，令$A$为$X$的可数无限闭子集，其所有点是孤立的，并令$I$ 为$\mathbf{R}$ 中的有界开区间。证明，对于拓扑 $\mathscr{T}$，集合 $T(A, I)$ (习题 10) 没有内部点。 [如果$u_0 \in T(A, I)$，构造是连续的映射$f : X \times Y \to \mathbf{R}$，使得$f(., y_0) = u_0$和$f(., z_n) \notin T(A, I)$对于所有$z_n \neq y_0$。]

b) 因此证明，如果在加法中，$C(X; \mathbf{R}) \times X$到$\mathbf{R}$的映射$(u, x) \to u(x)$对于拓扑$\mathscr{T}$是连续的，如果$X$是局部仿紧的（章IX, § 4， 习题 27)，如果点 $(x_n)$ 中存在$X$ 序列，其收敛到与所有$x_n$不同的点，则$X$必须是局部紧致的[使用习题 10 b) 和章 IX, § 4、习题 25 c)]。

c) 从 b) 中推导出，如果 $X$ 可度量但不是局部紧致，则 $C_c(X; \mathbf{R})$ 中存在点，且邻域中没有可数基数系统 [使用习题 9 a)]。直接给证明，利用习题5a)。