习题 18, § 3

令 $X$ 为局部紧致空间，并具有与其拓扑一致的一致性，并令 $\Gamma$ 为 $X$ 同胚的群。对于$X$的每个随行$V$和$X$的每个紧凑子集$K$，令$G(K, V)$表示$X$同胚的对$(u, v)$的集合，使得$(u(x), v(x)) \in V$和$(u^{-1}(x), v^{-1}(x)) \in V$ 对于所有$x \in K$。

a) 证明集合 $G(K, V)$ 形式 $\Gamma$ 上均匀性 $\mathscr{U}$ 的基本系统随行人员，并且由该均匀性引起的拓扑是在 no. 5 中定义的拓扑 $\mathscr{T}_\beta$。

b) 证明如果 $X$ 就其均匀性而言是完备的，则 $\Gamma$ 就均匀性 $\mathscr{U}$ 而言是完备的。

c) 证明$\Gamma$对于拓扑$\mathscr{T}_\beta$定义的两侧均匀性是完备的[使用习题16c)]。

d) 取$X$为形式$n + 2^{-m}$的点的$\mathbf{R}$由……组成的局部紧子空间（$n \in \mathbf{Z}$，$m$整数$\geqslant 1$）。证明在群 $\Gamma$ 上，均匀性 $\mathscr{U}$ 和紧致收敛的均匀性都无法与拓扑 $\mathscr{T}_\beta$ 定义的三个均匀性（左、右和两侧）中的任何一个相媲美。