习题 12, § 4

a) 令 $X$ 为紧致空间，并令 $f : X \to Y$ 为 $X$ 到紧致空间 $Y$ 的连续射影。显示映射

(*) 对于$X$是不可度量紧致空间$\beta \mathbf{N}$且$Y$是闭集合$\beta \mathbf{N} - \mathbf{N}$的情况，此结果不扩展。

af : u \to u \circ f of $\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$ into $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ 是$\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$ 的（范数保持）同构到$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ 包含单位元素的闭子代数。

b) 相反，令$A$为$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$包含单位元素的闭子代数。证明存在 $X$ 到紧致空间 $Y$ 上的连续满射 $f$，使得 $af$ 是 $\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$ 到 $A$ 的同构。 {如果$(u_\lambda)_{\lambda \in L}$是$A$密集的族，则考虑$X$的连续映射$x \to (u_\lambda(x))$进入$\mathbf{R}^L$并使用Weierstrass-Stone定理。}

c) 从 b) 中推导出，对于 $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ 的元素的每个序列 $(u_n)$，存在一个*可度量*紧致空间 $Y$ 和一个连续满射映射 $f : X \to Y$，使得 $u_n$ $af$下$\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$的属于至像。