Exercice 9, § 1

a) Soient R un anneau, A un sous-anneau de R, x un élément de R, S l’ensemble des $x^k (k \geqslant 0)$ dans R. Montrer que pour que x soit entier sur A, il faut et il suffit que $x/1 \in A[1/x]$ dans l’anneau $S^{-1}R$. Si x n’est pas entier sur A, montrer qu’il existe un idéal maximal m de $A[1/x]$ contenant $1/x$, et que l’image réciproque de m par l’homomorphisme canonique $A \to A[1/x]$ est un idéal maximal dans A.

b) Montrer que la fermeture intégrale $A'$ de A dans R est l’intersection des sous-anneaux paravaluatifs dans R (exerc. 8) qui contiennent A. (Pour voir que $A'$ est contenu dans chacun de ces anneaux, utiliser l’exerc. 8 a) et l’exerc. 6 d); pour voir que si $x \in R$ n’est pas entier sur A, il existe un sous-anneau B de R, paravaluatif dans R et tel que $x \notin B$, utiliser a), l’exerc. 7 a) et l’exerc. 8 c), en raisonnant comme dans le th. 3 du no 3).