Bài tập 9, § 1

a) Cho R là một vành, A là một vành con của R, x là một phần tử của R, S là tập hợp các $x^k (k \geqslant 0)$ trong R. Bây giờ chứng minh rằng để x nguyên trên A, điều kiện cần và đủ là $x/1 \in A[1/x]$ trong vành $S^{-1}R$. Nếu x không nguyên trên A, chứng minh rằng tồn tại một iđêan cực đại m của $A[1/x]$ chứa $1/x$, và ảnh ngược của m qua đồng cấu chính tắc $A \to A[1/x]$ là một iđêan cực đại trong A.

b) Bây giờ chứng minh rằng bao đóng nguyên $A'$ của A trong R là giao của các vành con tựa định giá trong R (Bài tập 8) chứa A. (Để thấy rằng $A'$ được chứa trong mỗi vành này, sử dụng Bài tập 8 a) và Bài tập 6 d); để thấy rằng nếu $x \in R$ không nguyên trên A, thì tồn tại một vành con B của R, tựa định giá trong R và sao cho $x \notin B$, sử dụng a), Bài tập 7 a) và Bài tập 8 c), lập luận như trong Định lý 3 của No. 3).