Exercice 10, § 6

Soit G un groupe fini résoluble d’ordre $mn$, où $m$ et $n$ n’ont pas de facteur premier commun. Montrer qu’il existe un sous-groupe H de G d’ordre $m$, et que tout sous-groupe de G dont l’ordre divise $m$ est contenu dans un conjugué de H (« théorème de Hall »).

(Raisonner par récurrence sur l’ordre de G. Si $mn \neq 1$, choisir un sous-groupe commutatif A de G, distingué, non réduit à $e$, et dont l’ordre $a$ soit une puissance d’un nombre premier. On appliquera l’hypothèse de récurrence à G/A et à $\left( \frac{m}{a}, n \right)$ ou $\left( m, \frac{n}{a} \right)$ suivant que $a$ divise $m$ ou divise $n$. Dans le second cas, utiliser l’exerc. 9 de I, p. 136 pour passer de G/A à G.)