Bài tập 10, § 6

Cho G là một nhóm giải được hữu hạn có cấp $mn$, trong đó m và n không có nhân tử nguyên tố chung. Hãy chứng minh rằng tồn tại một nhóm con H của G có cấp m và rằng mọi nhóm con của G có cấp chia hết cho m đều được chứa trong một liên hợp của H ("Định lý Hall")!

(Lập luận bằng quy nạp theo cấp của G. Nếu $mn \neq 1$, hãy chọn một nhóm con giao hoán A của G là chuẩn và không bằng $\{e\}$, có cấp a là một lũy thừa của một số nguyên tố. Áp dụng giả thiết quy nạp này cho $G/A$ và cho $(m/a, n)$ hoặc $(m, n/a)$ tùy theo a chia hết cho m hay n. Trong trường hợp thứ hai, dùng Bài tập 9 để chuyển từ $G/A$ sang G.)

† Ở đây một lần nữa có thể chỉ ra rằng hai phân đoạn như vậy là liên hợp, xem Feit và Thompson, Proc. Nat. Acad. Sci., U.S.A., 48, 1962, 968–970.