Exercice 20, § 6

Soit G un groupe commutatif fini, noté additivement. Soit $x = \sum_{g \in G} g$, et soit $G_2$ le sous-groupe de G formé des éléments $g$ tels que $2g = 0$. a) Montrer que $x = \sum_{g \in G_2} g$. b) Montrer que $x = 0$ si Card($G_2$) $\neq 2$. Si Card($G_2$) = 2, montrer que $x$ est l’unique élément non nul de $G_2$. c) Montrer que Card($G_2$) = 2 si et seulement si le 2-sous-groupe de Sylow de G est cyclique et $\neq 0$. d) \* Soit $p$ un nombre premier. Montrer que

(Appliquer b) au groupe multiplicatif du corps $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$.)*