Bài tập 20, § 6

Cho G là một nhóm giao hoán hữu hạn, được viết theo phép cộng. Cho $x = \sum_{g \in G} g$, và cho $G_2$ là nhóm con của G tạo bởi các phần tử $g$ sao cho $2g = 0$. a) Bây giờ chứng minh rằng $x = \sum_{g \in G_2} g$. b) Bây giờ chứng minh rằng $x = 0$ nếu Card($G_2$) $\neq 2$. Nếu Card($G_2$) = 2, bây giờ chứng minh rằng $x$ là phần tử khác không duy nhất của $G_2$. c) Bây giờ chứng minh rằng Card($G_2$) = 2 khi và chỉ khi nhóm con 2-Sylow của G là xyclic và $\neq 0$. d) \* Cho $p$ là một số nguyên tố. Bây giờ chứng minh rằng

(Áp dụng b) cho nhóm nhân của trường $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$.)*