Exercice 32, § 6

Soit $p$ un nombre premier et soit G un $p$-groupe. Soit $G^* = G^p D(G)$ le sous-groupe de G engendré par D(G) et par les $x^p$ pour $x \in G$. a) Montrer que $G^*$ est l’intersection des noyaux des homomorphismes de G dans $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$. b) Montrer qu’une partie S de G engendre G si et seulement si l’image de S dans $G/G^*$ engendre $G/G^*$. En déduire que, si $(G:G^*) = p^n$, l’entier $n$ est le nombre minimum d’éléments d’une partie de G engendrant G; en particulier, G est cyclique si et seulement si $n \leqslant 1$. c) Soit $u$ un automorphisme de G d’ordre premier à $p$ et soit $\bar{u}$ l’automorphisme correspondant de $G/G^*$. Montrer que $\bar{u} = 1$ entraîne $u = 1$.