Bài tập 32, § 6

Cho $p$ là một số nguyên tố và cho G là một nhóm $p$-nhóm. Cho $G^* = G^p D(G)$ là nhóm con của G sinh bởi D(G) và bởi các $x^p$ với $x \in G$. a) Chứng minh rằng $G^*$ là giao của các hạt nhân của các đồng cấu nhóm từ G vào $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$. b) Chứng minh rằng một tập con S của G sinh G khi và chỉ khi ảnh của S trong $G/G^*$ sinh $G/G^*$. Suy ra rằng, nếu $(G:G^*) = p^n$, số nguyên $n$ là số phần tử tối thiểu của một tập con của G sinh G; đặc biệt, G là xyclic khi và chỉ khi $n \leqslant 1$. c) Cho $u$ là một tự đẳng cấu của G có cấp nguyên tố cùng nhau với $p$ và cho $\bar{u}$ là tự đẳng cấu tương ứng của $G/G^*$. Chứng minh rằng $\bar{u} = 1$ kéo theo $u = 1$.