Exercice 39, § 6

Soient G un groupe fini, $n = \mathrm{Card}(G)$, $p$ un nombre premier, X l’ensemble des $p$-sous-groupes de Sylow de G, et $r = \mathrm{Card}(X)$. Alors G opère transitivement sur X par conjugaison; soit $\varphi : G \to \mathfrak{S}_X \approx \mathfrak{S}_r$, l’homomorphisme correspondant (on écrit A $\approx$ B la relation « A est isomorphe à B »), et soit K son noyau. a) Montrer que K est l’intersection des normalisateurs des P $\in$ X, et que le $p$-sous-groupe de Sylow de K est l’intersection des P $\in$ X. En déduire que si $r > 1$ l’ordre k de K divise $n/rp$. b) Montrer que si G n’a pas de sous-groupe d’indice 2, alors $\varphi(G) \subset \mathfrak{A}_X$, et que si $n = k\ r!$ (resp. $\frac{1}{2}k\ r!$), alors $\varphi(G) = \mathfrak{S}_X$ (resp. $\mathfrak{A}_X$). c) En utilisant a) et b), ainsi que l’exercice précédent, démontrer les faits suivants: Si $n = 12$, et si un 3-sous-groupe de Sylow de G n’est pas distingué, alors G $\approx \mathfrak{A}_4$. Si $n = 24$, et si G n’a pas la propriété (ST), alors G $\approx \mathfrak{S}_4$. Si $n = 36$, alors G possède la propriété (ST). (Montrer que si un 3-sous-groupe de Sylow de G n’est pas distingué, alors G contient un sous-groupe K d’ordre 3, tel que G/K $\approx \mathfrak{A}_4$, et que K est central.) Si $n = 48$, et si G n’a pas la propriété (ST), alors G contient un sous-groupe distingué K d’ordre 2 tel que G/K $\approx \mathfrak{S}_4$. Si $n = 60$, et si G n’a pas la propriété (ST), alors G $\approx \mathfrak{A}_5$. (Montrer qu’un tel groupe G n’a pas de sous-groupe distingué d’ordre 5, ni d’ordre 2, ni d’indice 2. En déduire que G est isomorphe à un sous-groupe de $\mathfrak{S}_6$, et en raisonnant comme dans l’exerc. 25 de I, p. 133, que G $\approx \mathfrak{A}_5$.) Si $n = 72$, et si un 3-sous-groupe de Sylow de G n’est pas distingué, alors G contient un sous-groupe K distingué tel que G/K soit isomorphe soit à $\mathfrak{S}_4$, soit à $\mathfrak{A}_4$. Si $n = 96$, et si un 2-sous-groupe de Sylow de G n’est pas distingué, alors G contient un sous-groupe distingué K tel que G/K $\approx \mathfrak{S}_3$. d) Montrer qu’un groupe G d’ordre $\leq 100$ est résoluble sauf si G $\approx \mathfrak{A}_5$.