Bài tập 39, § 6

Cho G là một nhóm hữu hạn, $n = \mathrm{Card}(G)$, $p$ là một số nguyên tố, X là tập hợp các nhóm con $p$-Sylow của G, và $r = \mathrm{Card}(X)$. Khi đó G tác động bắc cầu trên X bởi phép liên hợp; gọi $\varphi : G \to \mathfrak{S}_X \approx \mathfrak{S}_r$, là đồng cấu tương ứng (ta viết A $\approx$ B cho quan hệ “A là đẳng cấu với B”), và gọi K là hạt nhân của nó. a) Chứng minh rằng K là giao của các chuẩn hóa tử của các P $\in$ X, và rằng nhóm con $p$-Sylow của K là giao của các P $\in$ X. Suy ra rằng nếu $r > 1$ thì cấp k của K chia hết $n/rp$. b) Chứng minh rằng nếu G không có nhóm con chỉ số 2, thì $\varphi(G) \subset \mathfrak{A}_X$, và rằng nếu $n = k\ r!$ (resp. $\frac{1}{2}k\ r!$), thì $\varphi(G) = \mathfrak{S}_X$ (resp. $\mathfrak{A}_X$). c) Sử dụng a) và b), cũng như bài tập trước, chứng minh các sự kiện sau: Nếu $n = 12$, và nếu một nhóm con 3-Sylow của G không phân biệt, thì G $\approx \mathfrak{A}_4$. Nếu $n = 24$, và nếu G không có tính chất (ST), thì G $\approx \mathfrak{S}_4$. Nếu $n = 36$, thì G có tính chất (ST). (Chứng minh rằng nếu một nhóm con 3-Sylow của G không phân biệt, thì G chứa một nhóm con K cấp 3, sao cho G/K $\approx \mathfrak{A}_4$, và K là trung tâm.) Nếu $n = 48$, và nếu G không có tính chất (ST), thì G chứa một nhóm con phân biệt K cấp 2 sao cho G/K $\approx \mathfrak{S}_4$. Nếu $n = 60$, và nếu G không có tính chất (ST), thì G $\approx \mathfrak{A}_5$. (Chứng minh rằng một nhóm G như vậy không có nhóm con phân biệt cấp 5, cũng như cấp 2, cũng như chỉ số 2. Suy ra rằng G là đẳng cấu với một nhóm con của $\mathfrak{S}_6$, và bằng lập luận như trong exerc. 25 của I, p. 133, rằng G $\approx \mathfrak{A}_5$.) Nếu $n = 72$, và nếu một nhóm con 3-Sylow của G không phân biệt, thì G chứa một nhóm con phân biệt K sao cho G/K đẳng cấu với $\mathfrak{S}_4$, hoặc với $\mathfrak{A}_4$. Nếu $n = 96$, và nếu một nhóm con 2-Sylow của G không phân biệt, thì G chứa một nhóm con phân biệt K sao cho G/K $\approx \mathfrak{S}_3$. d) Chứng minh rằng một nhóm G có cấp $\leq 100$ là giải được trừ khi G $\approx \mathfrak{A}_5$.