Exercice 40, § 6

Soient $G_1, G_2$ deux groupes, G un sous-groupe de $G_1 \times G_2$ tel que $\mathrm{pr}_1 G = G_1$, $\mathrm{pr}_2 G = G_2$; identifiant $G_1$ et $G_2$ à $G_1 \times \{e_2\}$ et $\{e_1\} \times G_2$ respectivement, $H_1 = G \cap G_1$ et $H_2 = G \cap G_2$ sont des sous-groupes distingués de G tels que $G/H_1$ soit isomorphe à $G_2$ et $G/H_2$ isomorphe à $G_1$. a) Montrer que pour que G soit distingué dans $G_1 \times G_2$, il faut et il suffit que G contienne le groupe des commutateurs $D(G_1 \times G_2) = D(G_1) \times D(G_2)$ (prouver que G contient $D(G_1)$ en écrivant que $xzx^{-1}z^{-1} \in G$ pour $x \in G_1$ et $z \in G$). En déduire que $G_1/H_1$ est commutatif. b) Si G est distingué dans $G_1 \times G_2$, montrer qu’on définit un homomorphisme de $G_1 \times G_2$ sur $G_1/H_1$ en faisant correspondre à tout couple $(s_1, s_2)$ la classe de $s_1 t_1^{-1}$ modulo $H_1$, où $t_1 \in G_1$ est tel que $(t_1, s_2) \in G$. En déduire que $(G_1 \times G_2)/G$ est isomorphe à $G/(H_1 \times H_2)$.