Bài tập 40, § 6

Cho $G_1, G_2$ là hai nhóm, G là một nhóm con của $G_1 \times G_2$ sao cho $\mathrm{pr}_1 G = G_1$, $\mathrm{pr}_2 G = G_2$; đồng nhất $G_1$ và $G_2$ với $G_1 \times \{e_2\}$ và $\{e_1\} \times G_2$ tương ứng, $H_1 = G \cap G_1$ và $H_2 = G \cap G_2$ là các nhóm con chuẩn của G sao cho $G/H_1$ là đẳng cấu với $G_2$ và $G/H_2$ là đẳng cấu với $G_1$. (a) Chứng minh rằng để G là chuẩn trong $G_1 \times G_2$, điều kiện cần và đủ là G chứa nhóm giao hoán tử $D(G_1 \times G_2) = D(G_1) \times D(G_2)$ (chứng minh rằng G chứa $D(G_1)$ bằng cách viết rằng $xzx^{-1}z^{-1} \in G$ với $x \in G_1$ và $z \in G$). Suy ra rằng $G_1/H_1$ là giao hoán. (b) Nếu G là chuẩn trong $G_1 \times G_2$, chứng minh rằng ta xác định được một đồng cấu từ $G_1 \times G_2$ lên $G_1/H_1$ bằng cách tương ứng với mỗi cặp $(s_1, s_2)$ lớp của $s_1 t_1^{-1}$ modulo $H_1$, trong đó $t_1 \in G_1$ là phần tử sao cho $(t_1, s_2) \in G$. Suy ra rằng $(G_1 \times G_2)/G$ là đẳng cấu với $G/(H_1 \times H_2)$.