Exercice 18, § 9

Soient $E = \mathbf{P}(V)$ un plan projectif sur un corps $K$, $u$ une application bijective de $E$ sur lui-même, provenant par passage aux quotients d’une application semi-linéaire bijective $v$ de $V$ sur lui-même, relative à un automorphisme $\sigma$ de $K$. a) Montrer que les quatre propriétés suivantes sont équivalentes: $\alpha)$ pour tout $x \in E$, $x$, $u(x)$ et $u^2(x)$ sont en ligne droite; $\beta)$ toute droite de $E$ contient un point invariant par $u$; $\gamma)$ par tout point de $E$ passe une droite invariante par $u$; $\delta)$ pour toute droite $D$ de $E$, les trois droites $D$, $u(D)$ et $u^2(D)$ ont un point commun. (Montrer d’abord que $\alpha$) et $\gamma)$ sont équivalentes; en déduire, par dualité (II, p. 203, exerc. 12) que $\beta)$ et $\delta)$ sont équivalentes; prouver enfin que $\gamma)$ entraîne $\beta)$ et en déduire par dualité que $\beta)$ entraîne $\gamma)$.) b) On suppose que $u$ possède les propriétés énoncées dans a). Montrer que s’il existe dans $E$ une droite $D$ invariante par $u$ et ne contenant qu’un seul point $a$ invariant par $u$, $u$ provient par passage aux quotients d’une transvection $v$ de $V$ (II, p. 206, exerc. 11). (Montrer que toute droite invariante par $u$ contient $a$; en considérant une droite ne passant pas par $a$, montrer qu’il existe une droite $D_0$ passant par $a$ et contenant au moins deux points invariants par $u$; conclure que tous les points de $D_0$ sont nécessairement invariants par $u$). c) On suppose que $u$ possède les propriétés énoncées dans a). Montrer que s’il existe dans $E$ une droite $D$ invariante par $u$ et ne contenant que deux points invariants par $u$, $u$ provient par passage aux quotients d’une dilatation $v$ de $V$ (II, p. 206, exerc. 11). (Si $a$, $b$ sont les deux points de $D$ invariants par $u$, montrer que toute droite invariante par $u$ passe par $a$ ou par $b$; remarquer ensuite qu’il existe au moins deux autres points $c$, $d$ distincts de $a$, $b$ et invariants par $u$, et par suite que la droite $D_{cd}$ passe par $a$ ou $b$; conclure en prouvant que tous les points de $D_{cd}$ sont invariants par $u$.) d) On suppose que $u$ possède les propriétés énoncées dans a) et que toute droite de $E$ invariante par $u$ contient au moins trois points distincts invariants par $u$; il existe alors dans $E$ un repère projectif (II, p. 202, exerc. 10) dont chaque point est invariant par $u$; en conclure qu’il existe une base $(e_i)_{1 \leq i \leq 3}$ de $V$ telle que $u$ provienne par passage aux quotients d’une application semi-linéaire $v$ de $V$ sur lui-même telle que $v(e_i) = e_i$ pour $1 \leq i \leq 3$. L’ensemble des points de $E$ invariants par $u$ est alors le plan projectif $\mathbf{P}(V_0)$, où $V_0$ est l’espace vectoriel sur le corps $K_0$ des invariants de $\sigma$, engendré par $e_1$, $e_2$, $e_3$. e) On suppose désormais que $u$ satisfait aux conditions de a) et de d), et que ni $u$ ni $u^2$ n’est l’identité. Montrer qu’il existe $\gamma \in K$ tel que $\gamma^\sigma = \gamma$ et

pour tout $\xi \in K$ (utiliser la condition $\alpha$) de a), et l’existence de $\zeta \in K$ tel que $\zeta^\sigma \neq \zeta$). Montrer que $\gamma \neq -1$, puis que, pour tout $\xi \in K$ tel que $\xi^\sigma \neq \xi$, on a

(appliquer (1) en remplaçant $\xi$ par $\xi^2$); étendre (2) à tout $\xi \in K$ en remarquant que $\xi = \eta - \zeta$, où $\eta^\sigma \neq \eta$ et $\xi^\sigma \neq \zeta$. En conclure que $\gamma \neq 1$, puis déduire de (1) et (2) que l’on a

pour tout $\xi \in K$, et que $\gamma + \gamma^{-1}$ appartient au centre de $K$. Réciproque. Donner un exemple où $\gamma$ n’appartient pas au centre de $K$, mais où $\gamma + \gamma^{-1}$ est dans ce centre.