Bài tập 18, § 9

Cho $E = \mathbf{P}(V)$ là một mặt phẳng xạ ảnh trên một trường $K$, $u$ là một ánh xạ song ánh của $E$ lên chính nó, thu được bằng cách chuyển qua thương từ một ánh xạ nửa tuyến tính song ánh $v$ của $V$ lên chính nó, đối với một tự đẳng cấu $\sigma$ của $K$. a) Chứng minh rằng bốn tính chất sau là tương đương: $\alpha)$ với mọi $x \in E$, $x$, $u(x)$ và $u^2(x)$ nằm trên một đường thẳng; $\beta)$ mọi đường thẳng của $E$ chứa một điểm bất biến đối với $u$; $\gamma)$ qua mọi điểm của $E$ đi qua một đường thẳng bất biến đối với $u$; $\delta)$ với mọi đường thẳng $D$ của $E$, ba đường thẳng $D$, $u(D)$ và $u^2(D)$ có một điểm chung. (Trước hết chứng minh rằng $\alpha$) và $\gamma)$ là tương đương; suy ra, bằng đối ngẫu (II, p. 203, Bài tập 12), rằng $\beta)$ và $\delta)$ là tương đương; cuối cùng chứng minh rằng $\gamma)$ kéo theo $\beta)$ và suy ra bằng đối ngẫu rằng $\beta)$ kéo theo $\gamma)$.) b) Giả sử rằng $u$ có các tính chất đã nêu trong a). Chứng minh rằng nếu trong $E$ tồn tại một đường thẳng $D$ bất biến đối với $u$ và chỉ chứa một điểm $a$ bất biến đối với $u$, thì $u$ thu được bằng cách chuyển qua thương từ một phép trượt $v$ của $V$ (II, p. 206, Bài tập 11). (Chứng minh rằng mọi đường thẳng bất biến đối với $u$ đều chứa $a$; bằng cách xét một đường thẳng không đi qua $a$, chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng $D_0$ đi qua $a$ và chứa ít nhất hai điểm bất biến đối với $u$; kết luận rằng mọi điểm của $D_0$ nhất thiết đều bất biến đối với $u$.) c) Giả sử rằng $u$ có các tính chất đã nêu trong a). Chứng minh rằng nếu trong $E$ tồn tại một đường thẳng $D$ bất biến đối với $u$ và chỉ chứa hai điểm bất biến đối với $u$, thì $u$ thu được bằng cách chuyển qua thương từ một phép vị tự $v$ của $V$ (II, p. 206, Bài tập 11). (Nếu $a$, $b$ là hai điểm của $D$ bất biến đối với $u$, chứng minh rằng mọi đường thẳng bất biến đối với $u$ đều đi qua $a$ hoặc đi qua $b$; sau đó nhận xét rằng tồn tại ít nhất hai điểm khác $c$, $d$ phân biệt với $a$, $b$ và bất biến đối với $u$, và do đó đường thẳng $D_{cd}$ đi qua $a$ hoặc $b$; kết luận bằng cách chứng minh rằng mọi điểm của $D_{cd}$ đều bất biến đối với $u$.) d) Giả sử rằng $u$ có các tính chất đã nêu trong a) và rằng mọi đường thẳng của $E$ bất biến đối với $u$ chứa ít nhất ba điểm phân biệt bất biến đối với $u$; khi đó tồn tại trong $E$ một khung xạ ảnh (II, p. 202, Bài tập 10) mà mỗi điểm của nó đều bất biến đối với $u$; kết luận rằng tồn tại một cơ sở $(e_i)_{1 \leq i \leq 3}$ của $V$ sao cho $u$ thu được bằng cách chuyển qua thương từ một ánh xạ nửa tuyến tính $v$ của $V$ lên chính nó sao cho $v(e_i) = e_i$ với $1 \leq i \leq 3$. Tập hợp các điểm của $E$ bất biến đối với $u$ khi đó là mặt phẳng xạ ảnh $\mathbf{P}(V_0)$, trong đó $V_0$ là không gian vectơ trên trường $K_0$ gồm các phần tử bất biến của $\sigma$, sinh bởi $e_1$, $e_2$, $e_3$. e) Giả sử từ đây rằng $u$ thỏa mãn các điều kiện của a) và d), và rằng cả $u$ lẫn $u^2$ đều không phải là đồng nhất. Chứng minh rằng tồn tại $\gamma \in K$ sao cho $\gamma^\sigma = \gamma$ và

với mọi $\xi \in K$ (sử dụng điều kiện $\alpha$) của a), và sự tồn tại của $\zeta \in K$ sao cho $\zeta^\sigma \neq \zeta$). Chứng minh rằng $\gamma \neq -1$, rồi rằng, với mọi $\xi \in K$ sao cho $\xi^\sigma \neq \xi$, ta có

(áp dụng (1) bằng cách thay $\xi$ bởi $\xi^2$); mở rộng (2) đến mọi $\xi \in K$ bằng cách nhận thấy rằng $\xi = \eta - \zeta$, trong đó $\eta^\sigma \neq \eta$ và $\xi^\sigma \neq \zeta$. Kết luận rằng $\gamma \neq 1$, rồi suy ra từ (1) và (2) rằng ta có

với mọi $\xi \in K$, và rằng $\gamma + \gamma^{-1}$ thuộc tâm của $K$. Đảo lại. Cho một ví dụ trong đó $\gamma$ không thuộc tâm của $K$, nhưng $\gamma + \gamma^{-1}$ thuộc tâm này.