Exercice 4, Annexe 1

Soient A une $k$-algèbre, $\mathfrak{a}$ un idéal à gauche de A ; on considère $\mathfrak{a}$ comme une $k$-algèbre. Prouver qu’on a $\Re (A)\cap \mathfrak{a}\subset \Re (\mathfrak{a})$ (appliquer la prop. 7 de VIII, p. 431) et qu’il y a égalité si $\mathfrak{a}$ est bilatère (observer que tout pseudomodule simple sur A est simple sur $\mathfrak{a}$ ou annulé par $\mathfrak{a}$). Donner un exemple d’idéal à gauche $\mathfrak{a}$ tel que $\Re (A)\cap \mathfrak{a}\not=\Re (\mathfrak{a})$ (on pourra prendre pour A une algèbre de matrices).