Exercice 1, § 1

Soient A un anneau principal qui n’est pas un corps et P un système représentatif d’éléments extrémaux de A. Pour qu’un A-module M soit artinien, il faut et il suffit qu’il soit de torsion et qu’il existe une partie finie S de P telle que les deux conditions suivantes soient satisfaites :

(i) Pour tout $\pi \in P$- S, le composant $\pi$-primaire $M_{\pi}$ de M (VII, p. 8) est réduit à 0 ;

(ii) Pour tout $\pi \in S$, l’ensemble des éléments de M annulés par $\pi$, considéré comme espace vectoriel sur le corps $A/\pi A$, est de dimension finie.