Exercice 5, § 14

Soient K un corps commutatif, V un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur K, W un sous-espace de V, distinct de $\{0\}$ et de V. On note $\mathfrak{a}$ la partie de l’algèbre A = End$_K(V)$ formée des endomorphismes $u$ tels que Im $u\subset W\subset$ Ker $u$ et B la sous-algèbre $K +\mathfrak{a}$ de A. Prouver que B est une sous-algèbre commutative maximale de A, non semi-simple, de degré éventuellement $> n$ sur K.