Exercice 3, § 17

a) Soit A une algèbre centrale et simple de degré fini sur K. Démontrer que le polynôme principal d’un élément $a$ de A est Pcrd$_{A/K}(a; X)$. Le polynôme principal de A (relativement à une base de A sur K) est le polynôme P considéré dans le lemme 4 de VIII, p. 338 (se ramener au cas où $B =\mathbf{M}_n(K)$).

b) Soit B une algèbre absolument semi-simple sur $K,\mathscr{S}$ l’ensemble des classes de B-modules simples. Prouver que le polynôme principal d’un élément $b$ de B est égal au produit des polynômes Pc$_{S/K}(b; X)$ pour S parcourant $\mathscr{S}$ (se ramener au cas où K est algébriquement clos).