Exercice 20, § 21

Soient G un groupe fini, H un sous-groupe de $G,\sigma$ une représentation de dimension finie de H et $\rho$ la représentation de G induite par $\sigma$. Soit C une classe de conjugaison de G ; l’ensemble $C\cap H$ est réunion d’une famille finie $(D_i)_{i\in I}$ de classes de conjugaison de H.

a) Démontrer la formule $\chi_{\rho}(C) =\frac{[G:H]}{Card(C)}\sum_{i\in I}$ Card(D$_i$)$\chi_{\sigma}(D_i)$.

b) Si $\sigma$ est la représentation triviale, on a $\chi_{\rho}(C) = [G : H]$ Card(C)$^{-1}$ Card(C $\cap H$).