Exercice 28, § 21

On conserve les hypothèses de l’exerc. 27; soit $m$ le ppcm des ordres des éléments $p$-réguliers de G. Soit $F_0$ le sous-corps de F engendré par les racines $m$-èmes de l’unité ; c’est un corps fini.

a) Démontrer que le caractère de toute représentation de degré fini de G sur F prend ses valeurs dans $F_0$.

b) Prouver que l’anneau quotient de $F_0[G]$ par son radical est un produit d’algèbres de matrices sur $F_0$ (utiliser a) et le théorème de Wedderburn). En déduire que l’homomorphisme canonique $R_{F_0}(G)\rightarrow R_F(G)$ est bijectif.