Exercice 4, § 21

Soient $(M, \pi )$ une représentation fidèle[^1] de dimension finie de G et $(N, \rho )$ une représentation irréductible ; on suppose que le caractère $\chi_{\pi}$ prend exactement $s$ valeurs distinctes. Prouver qu’il existe un entier $n < s$ tel que le K[G]-module N soit isomorphe à un sous-module de $M^{\otimes n}$ (calculer $\langle \chi_{\rho}, \chi^n_{\pi}\rangle$, en observant que l’égalité $\chi_{\pi}(g) =$ dim M équivaut à $g= 1$).

[^1]: Cela signifie que l’homomorphisme $\pi : G\rightarrow$ Aut$_K(M)$ est injectif.