Exercice 7, § 21

Pour toute représentation V de G de dimension finie, on note $\varphi (V)$ la dimension du sous-espace de V fixé par G ; on étend $\varphi$ par linéarité en une forme $\mathbf{Z}$-linéaire sur $R_K(G)$. Soit $(V_{\lambda})_{\lambda\in\widehat{G}}$ la famille des représentations irréductibles de G et soit $\omega$ l’élément $\sum_{\lambda\in\widehat{G}}[V_{\lambda}] [V^*_{\lambda}]$ de $R_K(G)$. Démontrer la formule $\varphi (\omega^n) =\sum_Cd(C)^{n-1}$ pour tout entier $n\geqslant 0$ (appliquer la prop. 8 de VIII, p. 405 et la seconde relation d’orthogonalité des caractères).