Exercice 5, § 6

Pour tout anneau R, on note $\mathbf{M}_{\infty}(R)$ le pseudo-anneau des matrices de type $\mathbf{N}\times \mathbf{N}$ à éléments dans R n’ayant qu’un nombre fini d’éléments non nuls. Prouver que pour que les anneaux A et B soient équivalents au sens de Morita, il faut et il suffit que les pseudo-anneaux $\mathbf{M}_{\infty}(A)$ et $\mathbf{M}_{\infty}(B)$ soient isomorphes (si P est un $(A$,B)-module inversible, considérer l’image de $\mathbf{M}_{\infty}(A)$ par l’isomorphisme End$_A(A^{(\mathbf{N})}_s)\rightarrow$ End$_A(P^{(\mathbf{N})})$ construit dans l’exercice 12 de VIII, p. 87. Étant donné un isomorphisme de $\mathbf{M}_{\infty}(A)$ sur $\mathbf{M}_{\infty}$(B), considérer l’image dans $\mathbf{M}_{\infty}(B)$ de l’idempotent $E_{11}$ de $\mathbf{M}_{\infty}(A))$.