Exercice 5, § 7

Soit A un anneau.

a) Soit $e$ un élément idempotent de A. Démontrer que si A est primitif (resp. quasi-simple), il en est de même de l’anneau $eAe$ (utiliser l’exerc. 3 b) ci-dessus, le lemme 4 de VIII, p. 108, et l’exerc. 6, a) de VIII, p. 14).

b) Soit $n$ un entier $\geqslant 1$. Démontrer que pour que l’anneau de matrices $\mathbf{M}_n(A)$ soit primitif (resp. quasi-simple), il faut et il suffit que A soit primitif (resp. quasi-simple) (cf. VIII, p. 109, exemple 2).

c) Soit B un anneau équivalent à A au sens de Morita ; pour que B soit primitif (resp. quasi-simple), il faut et il suffit qu’il en soit ainsi de A.