Exercice 3, § 9

a) Soit A un anneau tel que l’anneau quotient $A/\mathfrak{R}(A)$ soit semi-simple. Démontrer qu’on a $\mathfrak{R}(M) =\mathfrak{R}(A)M$ pour tout A-module M (observer que $M/\mathfrak{R}(A)M$ est un $A/\mathfrak{R}(A)$-module).

b) En déduire un exemple d’un anneau A et d’une famille $(M_i)_{i\in I}$ de A-modules tels que $\mathfrak{R}(\prod M_i)\not=\prod\mathfrak{R}(M_i)$ (utiliser a) pour un anneau dont le radical n’est pas de type fini).