Exercice 14, § 2

On appelle ordinal le type d’ordre d’un ensemble bien ordonné (III, p. 76, exerc. 13). a) Montrer que, si $(\lambda_t)_{t \in I}$ est une famille d’ordinaux telle que I soit bien ordonné, la somme ordinaire $\sum_{t \in I} \lambda_t$ est un ordinal ; si en outre I est fini, le produit ordinal $P \lambda_t$ est un ordinal (III, p. 76, exerc. 11). On désigne (par abus de langage, cf. § 3) le type d’ordre de l’ensemble vide par 0, le type d’ordre de l’ensemble à un élément par 1 ; montrer que l’on a

pour tout ordinal $\alpha$.

b) Montrer que la relation « $\lambda$ est un ordinal et $\mu$ est un ordinal et $\lambda < \mu$ » est une relation de bon ordre, que l’on note $\lambda \leq \mu$ (remarquer que, si $\lambda$ et $\mu$ sont des ordinaux, la relation $\lambda < \mu$ est équivalente à « $\lambda$ est égal au type d’ordre d’un segment de $\mu$ » (III, p. 22, cor. 3) ; étant donnée une famille $(\lambda_t)_{t \in I}$ d’ordinaux, considérer sur I une structure d’ensemble bien ordonné, et prendre la somme ordinaire de la famille des ensembles ordonnés par les $\lambda_t$; utiliser enfin la prop. 2 de III, p. 16).

c) Soit $\alpha$ un ordinal ; montrer que la relation « $\xi$ est un ordinal et $\xi \leq \alpha$ » est collectivisante en $\xi$, et que l’ensemble $O_\alpha$ des ordinaux $< \alpha$ est un ensemble bien ordonné tel que $\mathrm{Ord}(O_\alpha) = \alpha$. On identifie souvent $\alpha$ et $O_\alpha$.

d) Montrer que, pour toute famille d’ordinaux $(\xi_t)_{t \in I}$, il existe un ordinal $\alpha$ et un seul tel que la relation « $\lambda$ est un ordinal et pour tout $t \in I$, $\xi_t \leq \lambda$ » soit équivalente à $\alpha \leq \lambda$. On dit, par abus de langage, que $\alpha$ est la borne supérieure de la famille d’ordinaux $(\xi_t)_{t \in I}$ et on pose $\alpha = \sup_{t \in I} \xi_t$ (c’est le plus grand élément de la réunion de $\{\alpha\}$ et de l’ensemble des $\xi_t$). La borne supérieure de l’ensemble des ordinaux $\xi < \alpha$ est $\alpha$ ou un ordinal $\beta$ tel que $\alpha = \beta + 1$ ; dans ce dernier cas, on dit que $\beta$ est le prédécesseur de $\alpha$.