Bài tập 14, § 2

Một số thứ tự là kiểu thứ tự của một tập hợp được sắp thứ tự tốt (Bài tập 13).

(a) Chứng minh rằng, nếu $(\lambda_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ các số thứ tự được đánh chỉ số bởi một tập hợp được sắp thứ tự tốt $I$, thì tổng thứ tự $\sum_{\iota \in I} \lambda_\iota$ là một số thứ tự; \* và hơn nữa nếu $I$ là hữu hạn, thì tích thứ tự $\mathbf{P}_{\iota \in I} \lambda_\iota$ là một số thứ tự (Bài tập 11). \* Kiểu thứ tự của tập rỗng được ký hiệu bởi 0, và kiểu thứ tự của một tập hợp có một phần tử được ký hiệu bởi 1 (theo lối nói lạm dụng, xem § 3). Chứng minh rằng

với mọi số thứ tự $\alpha$.

(b) Chứng minh rằng quan hệ "$\lambda$ là một số thứ tự và $\mu$ là một số thứ tự và $\lambda \prec \mu$" là một quan hệ thứ tự tốt, ký hiệu bởi $\lambda \leqslant \mu$. (Chú ý rằng, nếu $\lambda$ và $\mu$ là các số thứ tự, thì quan hệ $\lambda \prec \mu$ tương đương với "$\lambda$ bằng kiểu thứ tự của một đoạn của $\mu$" (no. 5, Định lý 3, Hệ quả 3): cho một họ $(\lambda_\iota)_{\iota \in I}$ các số thứ tự, hãy xét một thứ tự tốt trên $I$ và lấy tổng thứ tự của họ các tập hợp được sắp bởi các $\lambda_\iota$; sau cùng, sử dụng Mệnh đề 2 của no. 1.)

(c) Cho $\alpha$ là một số thứ tự. Chứng minh rằng quan hệ "$\xi$ là một số thứ tự và $\xi \leqslant \alpha$" là xác định tập theo $\xi$, và rằng tập $O_\alpha$ các số thứ tự $< \alpha$ là một tập được sắp thứ tự tốt sao cho $\mathrm{Ord}\,(O_\alpha) = \alpha$. Ta sẽ thường đồng nhất $O_\alpha$ với $\alpha$.

(d) Chứng minh rằng đối với mọi họ các số thứ tự $(\xi_\iota)_{\iota \in I}$ đều tồn tại một số thứ tự duy nhất $\alpha$ sao cho quan hệ "$\lambda$ là một số thứ tự và $\xi_\iota \leqslant \lambda$ với mọi $\iota \in I$" là tương đương với $\alpha \leqslant \lambda$. Do lạm dụng ngôn ngữ, $\alpha$ được gọi là cận trên bé nhất của họ các số thứ tự $(\xi_\iota)_{\iota \in I}$, và ta viết $\alpha = \sup_{\iota \in I} \xi_\iota$ (đó là phần tử lớn nhất của hợp của $\{\alpha\}$ và tập hợp các $\xi_\iota$). Cận trên bé nhất của tập hợp các số thứ tự $\xi < \alpha$ hoặc là $\alpha$ hoặc là một số thứ tự $\beta$ sao cho $\alpha = \beta + 1$; trong trường hợp sau, $\beta$ được gọi là tiền nhiệm của $\alpha$.