Exercice 15, § 2

a) Soient $\alpha$ et $\beta$ deux ordinaux. Montrer que l'inégalité $\alpha < \beta$ est équivalente à $\alpha + 1 \leq \beta$, et qu'elle entraîne les inégalités $\xi + \alpha < \xi + \beta, \alpha + \xi \leq \beta + \xi, \alpha \xi \leq \beta \xi$ pour tout ordinal $\xi$, et $\xi \alpha < \xi \beta$ si $\xi > 0$. b) Déduire de a) qu'il n'existe pas d'ensemble dont tout ordinal soit un élément (utiliser l'exerc. 14 d)). c) Soient $\alpha, \beta, \mu$ trois ordinaux. Montrer que chacune des relations $\mu + \alpha < \mu + \beta, \alpha + \mu < \beta + \mu$ entraîne $\alpha < \beta$; il en est de même de chacune des relations $\mu \alpha < \mu \beta, \alpha \mu < \beta \mu$ si $\mu > 0$. d) Montrer que la relation $\mu + \alpha = \mu + \beta$ entraîne $\alpha = \beta$; il en est de même de $\mu \alpha = \mu \beta$ si $\mu > 0$. e) Pour que deux ordinaux $\alpha, \beta$ soient tels que $\alpha \leq \beta$, il faut et il suffit qu'il existe un ordinal $\xi$ tel que $\beta = \alpha + \xi$. Cet ordinal est alors unique, et tel que $\xi \leq \beta$; on le note $(-\alpha) + \beta$. f) Soient $\alpha, \beta, \zeta$ trois ordinaux tels que $\zeta < \alpha \beta$. Montrer qu'il existe deux ordinaux $\xi, \eta$ tels que $\zeta = \alpha \eta + \xi$ et que l'on ait $\xi < \alpha, \eta < \beta$ (cf. III, p. 22, cor. 3). En outre, les ordinaux $\xi$ et $\eta$ sont déterminés de façon unique par ces conditions.