Bài tập 15, § 2

(a) Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai số thứ tự. Hãy chỉ ra rằng bất đẳng thức $\alpha < \beta$ tương đương với $\alpha + 1 \leqslant \beta$, và nó kéo theo các bất đẳng thức $\xi + \alpha < \xi + \beta$, $\alpha + \xi \leqslant \beta + \xi$, $\alpha\xi \leqslant \beta\xi$ với mọi số thứ tự $\xi$, và $\xi\alpha < \xi\beta$ nếu $\xi > 0$.

(b) Suy ra từ (a) rằng không tồn tại tập hợp nào mà mọi số thứ tự đều thuộc về nó (dùng Bài tập 14 (d)).

(c) Cho $\alpha$, $\beta$, $\mu$ là ba số thứ tự. Chứng minh rằng mỗi quan hệ trong các quan hệ $\mu + \alpha < \mu + \beta$, $\alpha + \mu < \beta + \mu$ đều suy ra $\alpha < \beta$; và rằng mỗi quan hệ trong các quan hệ $\mu\alpha < \mu\beta$, $\alpha\mu < \beta\mu$ đều suy ra $\alpha < \beta$ với điều kiện $\mu > 0$.

(d) Chứng minh rằng quan hệ $\mu + \alpha = \mu + \beta$ suy ra $\alpha = \beta$, và rằng $\mu\alpha = \mu\beta$ suy ra $\alpha = \beta$ với điều kiện $\mu > 0$.

(e) Hai số thứ tự $\alpha$ và $\beta$ thỏa mãn $\alpha \leqslant \beta$ khi và chỉ khi tồn tại một số thứ tự $\xi$ sao cho $\beta = \alpha + \xi$. Khi đó số thứ tự $\xi$ này là duy nhất và thỏa mãn $\xi \leqslant \beta$; nó được ký hiệu là $(-\alpha) + \beta$.

(f) Cho $\alpha$, $\beta$, $\zeta$ là ba số thứ tự sao cho $\zeta < \alpha\beta$. Chứng minh rằng tồn tại hai số thứ tự $\xi$, $\eta$ sao cho $\zeta = \alpha\eta + \xi$ và $\xi < \alpha$, $\eta < \beta$ (x. no. 5, Định lý 3, Hệ quả 3). Hơn nữa, $\xi$ và $\eta$ được xác định duy nhất bởi các điều kiện này.