Exercice 16, § 2

On dit qu'un ordinal $\rho > 0$ est indécomposable s'il n'existe aucun couple d'ordinaux $\xi, \eta$ tels que $\xi < \rho, \eta < \rho$ et $\xi + \eta = \rho$. a) Pour que $\rho$ soit indécomposable, il faut et il suffit que, pour tout ordinal $\xi$ tel que $\xi < \rho$, on ait $\xi + \rho = \rho$. b) Montrer que, si $\rho > 1$ est un ordinal indécomposable et si $\alpha$ est un ordinal $> 0$, $\alpha \rho$ est indécomposable, et réciproquement (utiliser l'exerc. 15 f)). c) Si $\rho$ est indécomposable et $0 < \alpha < \rho$, montrer que l'on a $\rho = \alpha \xi$, où $\xi$ est un ordinal indécomposable (utiliser l'exerc. 15 f)). d) Soit $\alpha > 0$ un ordinal; montrer qu'il existe une plus grand ordinal indécomposable parmi les ordinaux indécomposables qui sont $\leq \alpha$ (considérer les décompositions $\alpha = \rho + \xi$, où $\rho$ est indécomposable). e) Si $E$ est un ensemble quelconque d'ordinaux indécomposables, déduire de d) que la borne supérieure de $E$ (III, p. 77, exerc. 14 d)) est un ordinal indécomposable.